Question

【题目】【2016高考山东文数】已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.

（I）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .

【解析】

试题分析：(Ⅰ)分别计算即得.

(Ⅱ)(i)设，

利用对称点可得

得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，即可证得.

(ii)设，分别将直线PA的方程，直线QB的方程与椭圆方程

联立，

应用一元二次方程根与系数的关系得到、及用表示的式子，进一步应用基本不等式即得.

试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，

由题意知，

所以，

所以椭圆C的方程为.

(Ⅱ)(i)设，

由，可得

所以 直线PM的斜率 ，

直线QM的斜率.

此时，所以为定值.

(ii)设，

直线PA的方程为，

直线QB的方程为.

联立 ，

整理得.

由可得 ，

所以，

同理.

所以，

，

所以

由，可知，

所以 ，等号当且仅当时取得.

此时，即，符号题意.

所以直线AB 的斜率的最小值为 .