Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）
①求抛物线方程；
②求△ABS面积的最大值．

Answer 1

分析：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；
②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．

解答：解：①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x₀，y₀）
当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x₁+x₂+p=8，∴x0=4-

p

2

又

y 2 1 =2px1 y 2 2 =2px2

得

y

2 1

-

y

2 2

=2p(x1-x2)，∴y0=

p

k

所以M(4-

p

2

，

p

k

)
依题意

p k

4- p 2 -6

•k=-1，∴p=4
∴抛物线方程为y²=8x----（6分）
当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y²=8x
②当直线的斜率存在时，由M（2，y₀）及kl=

4

y0

，lAB：y-y0=

4

y0

(x-2)
令y=0，得xK=2-

1

4

y

2 0

又由y²=8x和lAB：y-y0=

4

y0

(x-2)得：y2-2y0y+2

y

2 0

-16=0
∴S△ABS=

2

8

(16+y02)2(32-2y02)

≤

2

8

•

( 64 3 )3

=

64 6

9

----（12分）
当直线的斜率不存在时，AB的方程为x=2，|AB|=8，△ABS面积为

1

2

×8×4=16
∵

64 6

9

＞16，∴△ABS面积的最大值为

64 6

9

．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．