Question

【题目】已知函数f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣a，且x=﹣ 是方程f（x）=0的一个解．
（1）求实数a的值及函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若关于x的方程f（x）=b在区间（0， ）上恰有三个不相等的实数根x1 ， x2 ， x3 ， 直接写出实数b的取值范围及x1+x2+x3的取值范围（不需要给出解题过程）

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣a，且x=﹣ 是方程f（x）=0的一个解，

∴f（﹣ ）=0，

即2cos（﹣ ）sin（﹣ + ）﹣a=0，

解得a=sin = ，

∴f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣

=2cosx（ sinx+ cosx）﹣

= sinxcosx+cos2x﹣

= sin2x+ ﹣

= sin2x+ cos2x

=sin（2x+ ）；

∴函数f（x）的最小正周期为T= =π

（2）解：令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得 +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z；

∴函数f（x）的单调递减区间是[ +kπ， +kπ]，（k∈Z）

（3）解：关于x的方程f（x）=b在区间（0， ）上恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，

则实数b的取值范围是（ ，1）；

x1+x2+x3的取值范围是（ ， ）

【解析】（1）根据f（﹣ ）=0求出a的值，再化简f（x），求出f（x）的最小正周期；（2）根据正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调递减区间是；（3）根据函数f（x）的图象与性质，结合题意，即可得出b与x1+x2+x3的取值范围．