Question

【题目】如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝2，M为A1B1的中点．

(1)求证：MC⊥AB;

(2)在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

(3)若点P为CC1的中点，求二面角B－AP－C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）当点P为线段CC1的中点时，MC⊥平面ABP. （3）

【解析】试题分析: （1）取AB中点O，连接OM，OC，证明AB⊥平面OMC，可得MC⊥AB；（2）建立空间直角坐标系，设P（0，2，t）（0≤t≤2），要使直线MC⊥平面ABP，只要 即可得出结论；（3）若点P为CC1的中点，求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B-AP-C的余弦值．

试题解析：

(1)证明：取AB的中点O，连接OM，OC.

∵M为A1B1中点，

∴OM∥A1A.又A1A⊥平面ABC，

∴MO⊥平面ABC，

∵AB平面ABC，∴MO⊥AB.

∵△ABC为正三角形，∴AB⊥CO.

又MO∩CO＝O，MO，CO平面OMC，∴AB⊥平面OMC.

又∵MC平面OMC，∴AB⊥MC.

(2)以O为原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图．

依题意O(0,0,0)，A(－2,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，M(0,0,2)．

设P(0,2，t)(0≤t≤2)，

则＝(0,2，－2)，＝(4,0,0，)，＝(0,2，t)．

要使直线MC⊥平面ABP，只要

即(2)2－2t＝0，解得t＝.

∴点P的坐标为(0,2，)．

∴当点P为线段CC1的中点时，MC⊥平面ABP.

(3)取线段AC的中点D，则D的坐标为(－1，，0)，易知DB⊥平面A1ACC1，

故＝(3，－，0)为平面PAC的一个法向量．

又由(2)知＝(0,2，－2)为平面PAB的一个法向量．

设二面角B－AP－C的平面角为α，

则|cosα|＝

＝＝.

∴二面角B－AP－C的余弦值为.