Question

【题目】已知定义域为R的函数 是奇函数．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；
（3）若f（k3x）+f（3x﹣9x+2）＞0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）在R上为奇函数；

∴ ；

∴ ；

解得a=2，b=1

（2）解： ；

x增大时，2x+1增大， 减小，f（x）减小；

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减

（3）解：∵f（x）为奇函数，∴由f（k3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得，f（k3x）＞f（9x﹣3x﹣2）；

又f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；

∴k3x＜9x﹣3x﹣2，该不等式对于任意x≥1恒成立；

∴（3x）2﹣（k+1）3x﹣2＞0对任意x≥1恒成立；

设3x=t，则t2﹣（k+1）t﹣2＞0对于任意t≥3恒成立；

设g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，△=（k+1）2+8＞0；

∴k应满足： ；

解得 ；

∴k的取值范围为

【解析】（1）根据f（x）为R上的奇函数便可得到 ，这样便可求出a=2，b=1；（2）分离常数可以得到 ，根据指数函数y=2x的单调性可以判断出x增大时，f（x）减小，从而可判断出f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；（3）根据f（x）的奇偶性和单调性便可由f（k3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得到（3x）2﹣（k+1）3x﹣2＞0对于任意的x≥1恒成立，可设3x=t，从而有t2﹣（k+1）t﹣2＞0对于任意的t≥3恒成立，可设g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，从而可以得到 ，这样解该不等式组便可得出k的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题．