Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），设函数f（x）=

m

•

n

+

1

2

．
（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

3

3

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA=2c-

3

a，求f（B）的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积运算，结合二倍角公式，化简函数，利用cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]，即可求cosx的值；
（2）利用正弦定理，可得cosB=

3

2

，从而可求f（B）的值．

解答：解：（1）由题意，f（x）=

3

cos

x

2

sin

x

2

-cos2

x

2

+

1

2

=sin（x-

π

6

）
∵x∈[0，

π

2

]，∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
∵f（x）=

3

3

，∴sin（x-

π

6

）=

3

3

，∴cos（x-

π

6

）=

6

3

∴cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]=cos（x-

π

6

）cos

π

6

-sin（x-）

π

6

sin

π

6

=

2

2

-

3

6

（2）∵2bcosA=2c-

3

a，∴利用正弦定理，可得2sinBcosA=2sinC-

3

sinA=2sin（A+B）-

3

sinA，
∴cosB=

3

2

∵B∈（0，π）
∴B=

π

6

∴f（B）=sin（

π

6

-

π

6

）=0

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，属于中档题．