Question

【题目】已知函数， ，（其中， 为自然对数的底数， ……）.

（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数， ，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）2

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，求出h（x）的解析式，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的值即可；（2）得到1+x≤ex，令x=﹣（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则0＜1﹣≤，得到累加，通过放大不等式，证明即可．

解析：

（1）因为，所以，

由对任意的恒成立，即，由，

（i）当时， ， 的单调递增区间为，

所以时， ，所以不满足题意.

(ii)当时，由，得

时， ， 时， ，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以的最小值为 .

设，所以，① 因为，令得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，②，由①②得，则.

（2）由（1）知，即，

令（， ）则，

所以，

所以

，

所以，又，所以的最小值为