Question

已知函数，且在和处取得极值.

（1）求函数的解析式.

（2）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）存在，且或时，使得曲线与轴有两个交

【解析】

试题分析：解：（1），

因为在和处取得极值，

所以和是＝0的两个根，

则解得经检验符合已知条件

故 

（2）由题意知，

令得，或，

随着变化情况如下表所示：

		1	（1，3）	3
	－	0	+	0	－
	递减	极小值	递增	极大值	递减

由上表可知：极大值＝，

又取足够大的正数时，；

取足够小的负数时，，

因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，

得：，

∴或，

即存在，且或时，使得曲线与轴有两个交点.

考点：导数的运用

点评：根据导数的符号判定函数的单调性是解题的关键，同时能利用其极值于x轴的关系的求解交点问题，属于中档题。