Question

已知椭圆C₁:,抛物线C₂:,

且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥轴时,求的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)是否存在的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，

求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为：

    　　  x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.  因为点A在抛物线上.

所以，即.此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

（II）解法一： 假设存在m、p的值使C₂的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB

的斜率存在，故可设直线AB的方程为．

由消去y得………………①

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,  

则x₁,x₂是方程①的两根，x₁＋x₂＝.

　　由　

消去y得.          ………………②

因为C₂的焦点在直线上，

所以，即.代入②有.

即.                      　　  …………………③

由于x₁,x₂也是方程③的两根，所以x₁＋x₂＝.

从而. 解得　　　……………………④

又AB过C₁、C₂的焦点，所以

，

则    …………………………………⑤

由④、⑤式得，即．

解得于是

因为C₂的焦点在直线上，所以.

．

由上知，满足条件的、存在，且，．

解法二：设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）, （x₂,y₂）．

　　　　因为AB既过C₁的右焦点，又过C₂的焦点，

所以.

即.         　 ……①

由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……②

且直线AB的方程是,

所以.        ……③

又因为，所以.    ……④

将①、②、③代入④得．　　……………⑤

　　因为，所以．　　…………⑥

将②、③代入⑥得　　……………⑦

由⑤、⑦得即

解得或（舍去）．将代入⑤得

由上知，满足条件的、存在，且，．