Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若经过点的直线与椭圆交于不同的两点是坐标原点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据离心率以及弦长，结合，可知，可得结果.

（2）假设点坐标，根据斜率存在与否假设直线方程，并与椭圆方程联立，使用韦达定理，表示出，结合不等式，可得结果.

解：（1）设椭圆的半焦距为.

因为过焦点且垂直于轴的直线交椭圆

所得的弦长为，所以，

得①因为椭圆的离心率为，

所以②

又③

由①②③，解得.

故椭圆的标准方程是.

（2）当直线的斜率不存在时，

直线的方程为，联立

解得或

则点的坐标分别为

，或，.

所以

；

当直线的斜率存在时,

设直线的方程为.

联立消去

得，

因为点在椭圆的内部，

所以直线与椭圆一定有两个不同的交点.

则.

所以

化简可得

则

化简可得.

因为，所以，

所以，所以.

所以，

即，所以.

综上，的取值范围是.