Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设点在曲线上，直线交曲线于点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.

【解析】

（1）由可将曲线的方程化为极坐标方程，在曲线的极坐标方程两边平方得，由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）根据题意得出，，然后利用换元法和三角函数关系式的恒等变换并结合基本不等式可求出的最小值.

（1）将代入得，，

所以曲线的极坐标方程为.

曲线的方程可化为，

即，得，

所以的直角坐标方程为；

（2）由（1）及题设条件知，，，其中，

所以，令，

因为，所以，所以，

所以，

当且仅当，即，时等号成立.

所以的最小值为.