Question

【题目】已知函数是偶函数，且满足，当时， ，当时， 的最大值为.

（1）求实数的值；

（2）函数，若对任意的，总存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）或

【解析】试题分析：

（1）由题意先求得函数具有性质，于是可得当时， ，利用导数可判断在上单调递增，故，根据条件得到．（2）由于“对任意的，总存在，使不等式恒成立”等价于“”，故可将问题转化为求函数的最大值或其值域．

试题解析：

（1）∵，即，

∴，

∴，

当时， ，

∴当时， ，

∴.

又，

∴恒成立，

∴在上单调递增，

∴，

令，解得．

∴实数的值为2．

（2）当时， ，

∴，

∴函数在单调递增，

∴当时， ．

又当时， ，

∴．

①当时， ，函数在区间单调递增，

∴．

∵对任意的，总存在，使不等式恒成立，

∴

解得；

②当时， ,函数在区间单调递减，

∴，

同①可得，

解得；

综上或．

∴实数的取值范围．