Question

【题目】求满足如下条件的最小正整数：在的圆周上任取个点，则在个中，至少有2007个不超过.

Answer 1

【答案】91

【解析】

首先，当时，如图，设是的直径，在点 和的附近分别取45个点，此时，只有个角不超过 .所以，不满足题意.

其次，当时，接下来证明：至少有2007个角不超过.

对圆周上的91个点，若 ，则联结 ，这样就得到一个图.设图中有条边.

当， 时，，故图中没有三角形.

若，则有个角不超过，命题得证.

若，不妨设、之间有边相连，因为图中没有三角形，所以，对于点 ，它至多与、中的一个有边相连.从而， ，其中，表示从 处引出的边数.又，而对图中每一条边的两个顶点、 ，都有.

于是，上式对每一条边求和可得.

由柯西不等式得

.

故 ，.

因此，91个顶点中，至少有个点对，它们之间没有边相连.从而，对应的顶点所对应的角不超过 .

综上所述，的最小值为91.