Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.

(1)求直线AC与PB所成角的余弦值;

(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.

Answer 1

解法一：(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0,0,0)、B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0,,1),从而

=(,1,0),=(,0,-2).

    设与的夹角为θ,则

cosθ===,

∴AC与PB所成角的余弦值为.

(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则=(-x,,1-z).

    由NE⊥面PAC,可得

    即化简得∴

    即N点的坐标为(,0,1),从而N点到AB、AP的距离分别为1,.

解法二:(1)设AC∩BD=O,连结OE,则OE∥PB, ∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.

   在△AOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,

∴cos∠EOA==,

    即AC与PB所成角的余弦值为.

(2)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=.

    连结PF,则在Rt△ADF中,DF==,AF=AD·tan∠ADF=.

    设N为PF的中点,连结NE,则NE∥DF.

∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC.从而NE⊥面PAC.

∴N点到AB的距离为AP=1,N点到AP的距离为AF=.