Question

【题目】已知是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则．

（1）判断是否正确，说明理由；

（2）证明：“”是“”的充分条件；

（3）证明：若，则．

Answer 1

【答案】（1）正确，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）根据条件依次确定M元素：，

（2）利用数学归纳法证明充分性成立，

（3）根据条件依次确定M元素：

证明如下：

（1）正确，证明如下：

由①，，由②知；

从而，；

由③知；

（2）由②知，若，则，故只需证明任意正整数即可；

由（1）知，，假设正整数，则；

由数学归纳法知：任意正整数；

即“”是“”的充分条件；

（3）先证：若，则：

由②知，若，∵，∴则；

由③知，且

于是，从而

由②知，，

再证：若，则

由上述证明可知，又，则

于是，同理，从而

∴，于是，

∴，同理

∴