Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是正方形，且BF⊥平面ACE，我们可以证得BF⊥AE，CB⊥AE，进而由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE．
（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，可得∠BGF是二面角B-AC-E的平面角，解Rt△BFG即可得到答案．

解答：证明：（1）∵BF⊥平面ACE
∴BF⊥AE…（2分）
∵二面角D-AB-E为直二面角，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE
∴CB⊥AE…（4分）
∴AE⊥平面BCE．…（6分）
解：（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，
∴BG⊥AC，BG=

2

，…（7分）
∵BF垂直于平面ACE，由三垂线定理逆定理得FG⊥AC
∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角…（9分）
由（1）AE⊥平面BCE，得AE⊥EB，
∵AE=EB，BE=

2

．
∴在Rt△BCE中，EC=

BC2+BE2

=

6

，…（10分）
由等面积法求得BF=

BC•BE

EC

=

2× 2

6

=

2 3

3

，
则GF=

GB2-BF2

=

2 3

=

6

3

∴在Rt△BFG中，cos∠BGF=

GF

GB

=

6 3

2

=

3

3

故二面角B-AC-E的余弦值为

3

3

．…（14分）

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得BF⊥AE，CB⊥AE，（2）的关键是证得∠BGF是二面角B-AC-E的平面角．