Question

【题目】如图1，等腰中，，，点，，为线段的四等分点，且.现沿，，折叠成图2所示的几何体，使.

（图1）

（图2）

（1）证明：平面；

（2）求几何体的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）通过证明平面、平面来证得平面平面，由此证得平面.

（2）将所求几何体分割成三棱柱和三棱锥两个部分，根据棱柱和棱锥的体积计算公式，计算出相应的体积，再相加求得几何体的体积.

（1）由，可知四边形是棱形，所以，

又平面，平面，所以平面，

因为，平面，平面，所以平面，

又，所以平面平面，

又平面，所以平面.

（2）连接，，取的中点，连接，，

则，

由图1知，所以，，

所以平面，平面，

又，所以几何体为直三棱柱，平面.

由图1，直角三角形中，，，所以，

所以，

由，知三角形为正三角形，则，

所以.