Question

【题目】已知函数.

(I)当a=-1时，

①求曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

②求函数f(x)的最小值；

(II)求证:当时，曲线与有且只有一个交点.

Answer 1

【答案】（1）切线方程；；（2）证明见解析

【解析】

(I)函数求导，求出得切线方程；解求单增区间，解求单减区间；利用单调性求最值；

(II)构造得到函数调调性，由零点存在性定理证有且只有一个零点.

(I)当时，

①函数，，

，即，

曲线在点处的切线方程为.

②令，得，令，得，

所以在上单增，在单减,

函数的最小值为.

(II) 当时，曲线与有且只有一个交点.

等价于有且只有一个零点.

，

当时，，

，则，

当时，，

，则，

在上单增，

又，

，

由零点存在性定理得有唯一零点，即曲线与有且只有一个交点.