Question

【题目】设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，过点的直线交抛物线于两点，线段的长是， 的中点到轴的距离是.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，直线交抛物线于，

①求证： 轴为的角平分线；

②若交抛物线于，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析， .

【解析】试题分析：（1）由定义，又，所以，抛物线的方程；（2）①设为， ，得到，所以轴为的角平分线；②，设直线为，则。

试题解析：

（1）设抛物线方程为， 由抛物线定义可,

又中点到轴距离为，则，故，所以抛物线的方程 .

(2) ①设，直线为,

，知则,

而,

又

故，则，所以轴为的角平分线.

②同理可得轴为的角平分线，故三点共线,

由抛物线的对称性知,

则,

又则,

设直线为， ,

，则， ，

故，则 ,又，则.