Question

【题目】给出两块相同的正三角形铁皮（如图1，图2），

（1）要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，

①请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；

②试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小

（2）设正三角形铁皮的边长为，将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

【答案】（1）①答案见解析；②；（2）当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为．

【解析】

①可以利用正三角形的图形特征，进行分割

②直接求解比较大小即可

(2) 设箱底边长为，列出，利用求导的方法求出最值点，据此即可求解

解：（1）①如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．

如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，

其较长的一组邻边边长为三角形边长的，

有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，

可成一个缺上底的正三棱柱，

而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．

②依上面剪拼方法，有．

推理如下：

设给出正三角形纸片的边长为2，那么，

正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，

其面积为．现在计算它们的高：

，．

所以．

（2）设箱底边长为，则箱高为，

箱子的容积为﹒

由解得（舍），，

且当时，；当时，，

所以函数在处取得极大值，

这个极大值就是函数的最大值：

．

答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为．