Question

【题目】如图（1），在平行四边形中，，，，，分别为，的中点．现把四边形沿折起，如图（2）所示，连结，，．

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题（1）取的中点，连接，，，可证，为正三角形，所以，，由线面垂直的判定定理可知平面，从而证得；（2）根据勾股定理可证得，所以，所以以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量，求出法向量的夹角，由于二面角为钝角，所以余弦值为负值.

试题解析：（1）取的中点，连接，，，

∵在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，

∴，为正三角形，

则，，

又∵，∴平面，

∵平面，

∴．

（2）∵，，，，分别为，的中点，

∴，，，

若，

则，

则三角形为直角三角形，则，

以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

则，则，，，

设平面的法向量为，

则令，则，，

则，

设平面的法向量为，则，

令，则，，即，

则，

由于二面角是钝二面角，

∴二面角的余弦值是．