Question

若函数f（x）=a•4^x+b•2^x+c（x∈R），且ab＞0，bc＜0，则（　　）

A．f（x）无零点

B．f（x）有两个负零点

C．f（x）有两个异号零点

D．f（x）仅有一个零点

Answer 1

分析：利用换元法可化为y=at²+bt+c，（t＞0）的零点个数，由对应方程根与系数的关系可得答案．

解答：解：函数f（x）=a•4^x+b•2^x+c可化为：
f（x）=a•（2^x）²+b•2^x+c，令2^x=t，t＞0，
则上式可变为y=at²+bt+c，是关于t的二次函数，
∵ab＞0，bc＜0，
∴△=b²-4ac＞0，
故对应方程at²+bt+c=0有两个不相等的实根设为t₁，t₂，
由根与系数的关系可知：t₁+t₂=-

b

a

＜0，t₁•t₂=

c

a

＜0，
故两根一正一负，只有正的才是方程的根（因为t＞0）
即函数仅有1个零点，
故选D

点评：本题考查函数的零点，换元是解决问题的关键，属基础题．