Question

【题目】设函数．

（1）当时，求证：；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）当时，，不等式化为，构造函数，利用导数求函数的最小值，从而证明不等式成立；

（2）方法1：不等式化为，令，利用导数判断，不等式化为，记，求出的最大值，即可得出的取值范围．

方法2：讨论时，，求得的取值范围，再证明时，在上恒成立．

（1）当时，，

要证明，即证明；

记，则；

当时， ，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增；

所以，即；

（2）方法1： 即，

令，令，得；

所以在上单调减，在单调增，

则，

即，可化为，

记，则，且；

再令，

当时，，

，

由（1）可知，时成立，，，

由此，在上单调增；

当时，，在上单调减；

因此，故；

方法2：当时，，由此

证明如下：当时，在上，恒成立，

，同法1证明，，

；

所以在上，恒成立，故．