Question

【题目】已知数列的前项和为，且，.

（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；

（2）若数列满足，且，求证：数列是等差数列；

（3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的，都存在使得，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数的集合.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）首先根据，，求出，再计算即可.

（2）首先由得到，由且，得到数列的通项公式，即可证明数列是等差数列.

（3）有题意得：，然后对分类讨论，可知当，，时，数列不具有性质.当时，对任意，，都有，即当时，数列具有性质.

（1）设等差数列的公差为，由，，得，

解得，则，

所以.

（2）因为，

所以，

解得，

因为，，，

当为奇数时，.

当为偶数时，.

所以对任意，都有.

当时，，即数列是等差数列.

（3）解：由题意，是等比数列，.

①当时，，

所以对任意，都有，

因此数列不具有性质.

②当时，，.

所以对任意，都有，

因此数列不具有性质.

③当时，.

，

.

取（表示不小于的最小整数），

则，.

所以对于任意，.

即对于任意，都不在区间内，

所以数列不具有性质.

④当时，，且，

即对任意，，都有，

所以当时，数列具有性质.

综上，使得数列具有性质的正实数的集合为.