Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且在椭圆上运动，当点恰好在直线l:上时，的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）作与平行的直线，与椭圆交于两点，且线段的中点为，若的斜率分别为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根据点在椭圆上运动，当点恰好在直线l:上时，的面积为，直线与椭圆方程联立，解得点的坐标，则有，再由求解.

（2）设直线的方程为.由可得，由韦达定理，求得点M的横纵坐标，，建立模型，由，得到，或.然后用函数法求范围.

（1）由可得，.

根据对称性，不妨设点在第一象限，则点的坐标为，

设椭圆的焦距为2c，由条件可得，

即，

由椭圆的离心率可得，

所以，，

所以，，

，解得，故.

故椭圆的方程为

（2）设直线的方程为.

由可得，

，即，

所以，，或.

设，

则.

则，.

则，

.

当时，，且在和上的取值范围相同，

故只需求在上的取值范围.

而在和上随的增大而增大.

的取值范围是.