Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的方程为，过点且斜率为的直线与曲线相切于点．

（1）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程和点的极坐标；

（2）若点在曲线上，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ；点的极坐标为或．(2)

【解析】

（1）由得得曲线的极坐标方程为，即，结合图象可求得的极径和角，可得的极坐标；

（2）不妨取，设，根据面积公式以及三角函数的性质可得最大值．

解（1）由得

故曲线的极坐标方程为，即，

如图：当与圆相切时，，

∴，

∴为等边三角形，

∴，，

∴点的极坐标为或．

（2）由于圆、点、点均关于轴对称，

故不论点A在何处，都不会影响面积最大值的取得.

不妨取，设，

则，

∴

，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即时，面积取得最大值．