Question

设，，其中是常数，且．
（1）求函数的极值；
（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立；
（3）设，且，证明：对任意正数都有：．

Answer 1

(1) 当时，取极大值，但没有极小值;(2)详见解析;(3)详见解析.

解析试题分析：(1)先求导，再讨论函数的单调区间，然后写出函数的极值；(2)通过依次构造函数、和，利用导数来研究其单调性和最值情况，从而用来比较大小，最终达到证明不等式的目的; (3)先把所要证明的不等式的左边转变到函数的问题，得到相关的不等式，再借助(1)中的结论得到，最后取即可证得.
试题解析：（1）∵，         1分
由得，，
∴，即，解得，       3分
故当时，；当时，；
∴当时，取极大值，但没有极小值．       4分
（2）∵，又当时，令，则
，
故，因此原不等式化为，即，
令，则，
由得：，解得，
当时，；当时，．
故当时，取最小值，  8分
令，则．
故，即．
因此，存在正数，使原不等式成立．         10分
（3）对任意正数，存在实数使，，
则，，
原不等式，
          12分
由（1）恒成立，故，
取，即得，
即，故所证不等式成立．           14分
考点：1、导数的应用，2、函数单调性的应用，3、不等式的证明.