Question

已知k∈R，函数f（x）=m^x+kn^x（m＞0且m≠1，n＞0且n≠1）．
（Ⅰ） 如果实数m，n满足m＞1，mn=1，函数f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k值；如果没有，说明为什么？
（Ⅱ） 如果m＞1＞n＞0，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）如果f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），转化成（n^x-m^x）（k-1）=0，根据n^x-m^x=0不恒成立，可求出k的值．如果f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），可转化成（n^x+m^x）（k+1）=0，根据n^x+m^x=0不恒成立，可求出k的值．
（2）根据m＞1＞n＞0，则

m

n

，当k≤0时，显然f（x）=m^x+kn^x在R上为增函数，当k＞0时，求出导函数f'（x），令f'（x）=0求出极值点，从而求出函数的单调区间．

解答：解：（1）如果f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）即m^-x+kn^-x=m^x+kn^x恒成立，
即：n^x+km^x=m^x+kn^x，（n^x-m^x）+k（m^x-n^x）=0，则 （n^x-m^x）（k-1）=0．
由n^x-m^x=0不恒成立，得k=1，即当k=1时，f（x）为偶函数．（3分）
如果f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）即m^-x+kn^-x=-m^x-kn^x恒成立，
即：n^x+km^x=-m^x-kn^x，（n^x+m^x）+k（m^x+n^x）=0，则 （n^x+m^x）（k+1）=0．
由n^x+m^x=0不恒成立，得k=-1，即k=-1时，f（x）为奇函数．
（2）m＞1＞n＞0，则

m

n

＞1，∴当k≤0时，显然f（x）=m^x+kn^x在R上为增函数．
当k＞0时，令 f'（x）=m^xlnm+kn^xlnn=n^x•[(

m

n

)x+lnm+klnn]=0，
可得[(

m

n

)x+lnm+klnn]=0，(

m

n

)x=-k

lnn

lnm

=-klog_mn，∴x=log

m

n

(-klogmn)．
在（-∞，log

m

n

(-klogmn) ）上，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数；
在（ log

m

n

(-klogmn)，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）为增函数．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及利用导数研究函数的单调性和图形的对称性，同时考查了计算能力和转化的数学思想，属于难题．