精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知k∈R,函数f(x)=ax+k•bx(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1)
(1)已知函数y=x+
1
x
(x>0)
在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.若a=2,b=
1
2
,k=1
,求函数f(x)的单调区间.
(2)若实数a,b满足ab=1.求k的值,使得函数f(x)具有奇偶性.(写出完整解题过程)
分析:(1)将a,b的值代入,得到f(x)=2x+
1
2x
,换元,令t=2x,根据y=t+
1
t
(t>0)
的单调区间判断函数的单调区间.
(2)根据奇函数偶函数的概念,代入f(x),化简整理,求得k的值.
解答:解:(1)当a=2,b=
1
2
,k=1
时,函数f(x)=2x+
1
2x
…(1分)
令t=2x(t>0),则原函数变为y=t+
1
t
(t>0)

由条件知,当t∈(0,1]时,y单调递减.此时x∈(-∞,0],且t=2x在(-∞,0]上单调递增.
所以有函数f(x)=2x+
1
2x
在(-∞,0]上单调递减.…(3分)
当t∈[1,+∞)时,y单调递增.此时x∈[0,+∞),且t=2x在[0,+∞)上单调递增.
所以有函数f(x)=2x+
1
2x
在(-∞,0]上单调递增.…(3分)
综上,f(x)=2x+
1
2x
在(-∞,0]上单调递减,在(-∞,0]上单调递增. …(1分)
(2)由题意,ab=1,所以有
1
a
=b,
1
b
=a

①若f(x)为奇函数,则有f(-x)=-f(x),即a-x+kb-x=-(ax+kbx),
(
1
a
)x+k(
1
b
)x=-(ax+kbx)
,得bx+kax=-(ax+kbx),
整理得(1+k)(bx+ax)=0,所以有1+k=0,得k=-1…(3分)
②若f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x),即a-x+kb-x=ax+kbx
(
1
a
)x+k(
1
b
)x=ax+kbx
,得bx+kax=ax+kbx,所以得k=1…(3分)
综上有,k=-1时,f(x)为奇函数,k=1时,f(x)为偶函数.…(1分)
点评:本题考查了复合函数的单调性以及函数的奇偶性,中间用到了换元法,是中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知k∈R,函数f(x)=mx+knx(m>0且m≠1,n>0且n≠1).
(Ⅰ) 如果实数m,n满足m>1,mn=1,函数f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相应的k值;如果没有,说明为什么?
(Ⅱ) 如果m>1>n>0,讨论函数f(x)的单调性.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知k∈R,函数f(x)=ax+k•bx(a>0且a≠1,b>0且b≠1).
(Ⅰ)如果实数a,b满足a>1且ab=1,函数f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相应的k值;如果没有,说明原因.
(Ⅱ)如果a=4,b=
12
,讨论函数f(x)的单调性.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知k∈R,函数f(x)=mx+knx(0<m≠1,n≠1).
(1)如果实数m,n满足m>1,mn=1,函数f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相应的k值,如果没有,说明为什么?
(2)如果m>1>n>0判断函数f(x)的单调性;
(3)如果m=2,n=
12
,且k≠0,求函数y=f(x)的对称轴或对称中心.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知k∈R,函数f(x)=ax+k•bx(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1)
(1)已知函数数学公式在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.若数学公式,求函数f(x)的单调区间.
(2)若实数a,b满足ab=1.求k的值,使得函数f(x)具有奇偶性.(写出完整解题过程)

查看答案和解析>>

同步练习册答案