Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求

BN

的长；
（2）求cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（3）求证A₁B⊥C₁M．

Answer 1

分析：由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由于BCA=90°，我们可以以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
（1）求出B点N点坐标，代入空间两点距离公式，即可得到答案；
（2）分别求出向量

BA1

，

CB1

的坐标，然后代入两个向量夹角余弦公式，即可得到cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（3）我们求出向量

BA1

，

C1M

的坐标，然后代入向量数量积公式，判定两个向量的数量积是否为0，若成立，则表明A₁B⊥C₁M

解答：解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴|

BN

|=

(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2

=

3

（2分）
（2）依题意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B₁（0，1，2）．
∴

BA1

=(1，-1，2)，

CB1

=(0，1，2)，

BA1

•

CB1

=3，|

BA

1|=

6

，|

CB

1|=

5

（5分）
∴cos＜

BA1

•

CB1

＞=

BA1 • CB1

| BA1 |•| CB1 |

=

1

10

30

（9分）
（3）证明：依题意得C₁（0，0，2），M(

1

2

，

1

2

，2)

A1B

=（-1，1，-2），

C1M

=(

1

2

，

1

2

，0)，
∴

A1B

•

C1M

=-

1

2

+

1

2

+0=0，
∴

A1B

⊥

C1M

（12分）

点评：本小题主要考查空间向量及运算的基本知识，空间中点、线、面的距离计算，空间两点间距离公式，异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，确定各点坐标，及直线方向向量的坐标是解答本题的关键．