Question

设关于x的一元二次方程2x²-tx-2=0的两个根为α、β（α＜β）．
（1）若x₁、x₂为区间[α、β]上的两个不同的点，求证：4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0．
（2）设f（x）=

4x-t

x2+1

，f（x）在区间[α，β]上的最大值和最小值分别为f_max和f_min，g（t）=f_max-f_min，求g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由二次函数图象特点知，2x12-tx1-2≤0，2x22-tx2-2≤0，则2x12-tx1-2+2x22-tx2-2≤0，整理后使用不等式进行放缩可得结论；
（2）令f′（x）=0，可求得极值点为α，β，从而可知f（x）在[α，β]上的单调性，由单调性可求得最大值、最小值，借助韦达定理可表示出g（t），化简后利用不等式可求得g（t）的最小值；

解答：解：（1）由2＞0，得y=2x²-tx-2的图象开口向上，
又x₁、x₂为区间[α、β]上的两个不同点，
所以2x12-tx1-2≤0，2x22-tx2-2≤0，
所以2x12-tx1-2+2x22-tx2-2≤0，即2(x12+x22)-t（x₁+x₂）-4≤0，
因为x12+x22＞2x1x2（x₁≠x₂），
所以4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜2(x12+x22)-t（x₁+x₂）-4≤0，
故4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0．
（2）对f（x）求导：f′（x）=

-2(2x2-tx-2)

(x2+1)2

，
令f′（x）=0，即2x²-tx-2=0，
所以其极值点即是α，β，可知f（x）在[α，β]上递增，
f（x）_max=f（β），f（x）_min=f（α），
g（t）=f（β）-f（α）=

4β-t

β2+1

-

4α-t

α2+1

=

(α-β)[4αβ-t(α+β)-4]

(α2+1)(β2+1)

，
又α+β=

t

2

，αβ=-1，则4αβ-t（α+β）-4=-

t2+16

2

，
（α²+1）（β²+1）=α²β²+（α+β）²-2αβ+1=

t2+16

4

，
g（t）=2（β-α），
（β-α）²=（α+β）²-4αβ=

t2

4

+4≥4，所以β-α≥2，
所以g（t）=2（β-α）≥4，即g（t）的最小值为4．

点评：本题考查二次方程根的分布与系数的关系，考查不等式的证明，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，综合性较强．