Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax．
（1）当x=0时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；
（2）若存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因为x=0时函数取得极大值，所以f′（0）=0，化简即可求出a的值，把a的值代入f（x）中检验，方法是在函数的定义域范围内，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到x=0处取得极大值；
（2）把f′（x）的解析式代入f′（x）≥2x中，解得a大于等于2x-

1

x+1

，设g（x）=2x-

1

x+1

，求出g（x）的最大值，即可求出a的范围，方法是求出g′（x），得到g′（x）大于0即函数在[1，2]为增函数，所以g（x）的最大值为g（2），列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围；
（3）求出f′（x）=0时x的值，分a大于等于0和a小于0两种情况在函数的定义域内，讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x+1

+a
由f′（0）=0，得a=-1，此时f′（x）=

1

x+1

-1．
当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故a=-1．
（2）∵f′（x）≥2x，∴

1

x+1

+a≥2x，∴a≥2x-

1

x+1

．
令g（x）=2x-

1

x+1

（1≤x≤2），
∴g′（x）=2+

1

(x+1)2

＞0，∴g（x）在[1，2]上是增函数，
∴a≥g（1）=

7

2

．存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立．
（3）f′（x）=

1

x+1

+a．
∵

1

x+1

＞0，
∴当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数．
当a＜0时，令f′（x）=0，x=-

1

a

-1；
若x∈（-1，-

1

a

-1）时，f′（x）＞0，
若x∈（-

1

a

-1，+∞）时，f′（x）＜0；
综上，当a≥0时，函数f（x）递增区间是（-1，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）递增区间是：（-1，-

1

a

-1），递减区间是：（-

1

a

-1，+∞）．

点评：本题考查学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所取的条件，是一道综合题．