Question

【题目】已知函数．

Ⅰ若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

Ⅱ若对于都有成立，试求a的取值范围；

Ⅲ记当时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】解: (I) 直线的斜率为1.

函数的定义域为，

因为，所以，所以.

所以..

由解得；由解得.

所以的单调增区间是,单调减区间是. ……………………4分

(II)，

由解得；由解得.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以当时，函数取得最小值，.

因为对于都有成立，

所以即可.

则. 由解得.

所以的取值范围是. ………………………………8分

(III)依题得，则.

由解得；由解得.

所以函数在区间为减函数，在区间为增函数.

又因为函数在区间上有两个零点，所以

解得.

所以的取值范围是. ……………………………………13分

【解析】

Ⅰ求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间；Ⅱ根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使恒成立，需使函数的最小值大于，从而求得a的取值范围；Ⅲ利用导数的符号求出单调区间，再根据函数在区间上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．

Ⅰ直线的斜率为1，函数的定义域为，

因为，所以，，所以，．

所以，，由 解得；由解得．

所以的单调增区间是，单调减区间是．

Ⅱ ，由,解得；由解得．

所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减．

所以，当时，函数取得最小值，因为对于都有成立，

所以，即可则由解得．

所以，a的取值范围是．

Ⅲ依题得，则．

由解得； 由解得．

所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．

又因为函数在区间上有两个零点，所以，

解得所以，b的取值范围是．