Question

【题目】已知函数，.

（1）设函数，讨论的单调性；

（2）设函数，若的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）求出的表达式并求导，分类讨论的单调性；（2）由题意可得有两个不同的根，则①，②， 消去参数得，构造函数求导研究函数单调性并利用放缩法推出，再次构造函数，通过证明来证明.

（1），定义域为，

.

当时，在上单调递增，在上单调递减.

当时，令，得，所以在，上单调递增；

令，得，所以在上单调递减.

当时，，在上单调递增.

当时，令，得，所以在，上单调递增；

令，得，所以在上单调递减.

（2），

因为函数的图象与的图象有两个不同的交点，

所以关于的方程，即有两个不同的根.

由题知①，②，

①+②得③，

②-①得④.

由③，④得，不妨设，记.

令，则，

所以在上单调递增，所以，

则，即，所以.

因为

所以，即.

令，则在上单调递增.

又，所以，

即，所以.

两边同时取对数可得，得证.