Question

【题目】定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（ ）

A.是的一个“完美区间”

B.是的一个“完美区间”

C.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

D.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

Answer 1

【答案】AC

【解析】

根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.

对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；

对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；

对于C，由定义域为，可知，

当时，，此时，所以在内单调递减，

则满足，化简可得，

即，所以或，

解得（舍）或，

由解得或（舍），

所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；

当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为 ，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；

②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，

解得，， 所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.

综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；

故选：AC.