Question

【题目】已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左右焦点F1 ， F2其离心率为e= ，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为 ．
（1）求a，b的值
（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足 ， =0，求| |+| |的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设△PF1F2内切圆半径为r，

由△PF1F2的面积为S= r（PF1+PF2+F1F2）= r（2a+2c），

S最大，则r最大，

当P为椭圆上下顶点时，△PF1F2的面积最大，其内切圆面积取得最大值，

∵ ，∴ ．

= =bc= r= ，化为 ，

又 ，a2=b2+c2，联立解得a=4，c=2，b=2

（2）解：∵满足 =0，

∴直线AC，BD垂直相交于点F1，

由（1）椭圆方程 ，F1（﹣2，0）．

①直线AC，BD有一条斜率不存在时，| |+| |=6+8=14．

②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x1，y1），C（x2，y2），

联立 ，化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0．

∴x1+x2= ，x1x2= ，

∴ = = ，

把﹣ 代入上述可得：可得| |= ，

∴| |+| |= ，

设t=k2+1（k≠0），t＞1．

∴| |+| |= ，∵t＞1，∴ ，

∴| |+| |∈ ．

综上可得：| |+| |的取值范围是

【解析】（1）当P为椭圆上下顶点时，△PF1F2内切圆面积取得最大值，设△PF1F2内切圆半径为r，利用 = =bc= r，化为 ，又 ，a2=b2+c2 ， 联立解得a，c，b即可得出．（2）由满足 ， =0，可得直线AC，BD垂直相交于点F1 ， 由（1）椭圆方程 ，F1（﹣2，0）．①直线AC，BD有一条斜率不存在时，| |+| |=14．②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0．利用根与系数的关系可得： = = ，把﹣ 代入上述可得：可得| |= ，可得| |+| |= ，设t=k2+1（k≠0），t＞1．即可得出．