Question

【题目】已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值.

（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求原点的直线的距离的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用已知条件设，，，建立与的关系，利用线段的长化简计算即可；

（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得m2＜4k2+1，再由，可得，从而求得k的范围，再由点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离，则取值范围可求．

（Ⅰ）∵点在上运动，点在上运动，

∴设，，线段的中点，则有，

∴，

∵线段的长为定值，∴+=8，

即+=8，化简得.

∴线段的中点的轨迹方程为.

（Ⅱ）设，，联立得 ，

，化简得①.

，

，

若，则，即，

所以 ，

即 ，化简得②，

由①②得，，

因为到直线的距离，所以

又因为，所以，

所以到直线的距离的取值范围是.