Question

椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴，它的短轴长为2，过焦点与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A，B两点且|AB|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过定点N（1，0）的直线l交椭圆C于C、D两点，交y轴于点P，若

PC

=λ 1

CN

，

PD

=λ2

DN

，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，表示出通径，由其长等于1，结合2b=2，求解a，b的值，所以椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到两交点C，D的纵坐标的和与积，结合

PC

=λ 1

CN

，

PD

=λ2

DN

，求解答案．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1．
令x=-c，代入椭圆方程得，y=±

b2

a

．
所以2×

b2

a

=1，2b=2，
解得a=2，b=1．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-1，则P点坐标为（0，

1

m

）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立直线与椭圆的方程

x=my-1 x2 4 +y2=1

，得（m²+4）y²-2my-3=0，
∴y₁+y₂=

2m

m2+4

，y₁y₂=

-3

m2+4

又∵

PC

=λ 1

CN

，

PD

=λ2

DN

，
∴λ₁=

1 m -y1

y1

，λ₂=

1 m -y2

y2

，
∴λ₁+λ₂=

1 m -y1

y1

+

1 m -y2

y2

=

1

my1

+

1

my2

-2=

y1+y2

my1y2

-2=-

2

3

-2=-

8

3

即λ₁+λ₂为定值

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，是高考的压轴题型，综合能力强，运算量大，属于难题．