Question

已知正方体ABCD―中，E为棱CC上的动点，

（1）求证：⊥；

（2）当E恰为棱CC的中点时，求证：平面⊥；

（3）在棱CC上是否存在一个点，可以使二面角的大小为45°，如果存在，试确定点在棱CC上的位置；如果不存在，请说明理由

Answer 1

解法1：连结AC，设，连结

（1）,

∴,

      又,

      ∴,

      ．

∴⊥．

（2）在等边三角形中，，而，平面, 平面, ，

∴⊥平面．于是，

∴为二面角的平面角．

在正方体ABCD―中，设棱长为，

∵E为棱CC的中点，由平面几何知识，得，

满足，∴．

即 平面⊥平面．

（3）在正方体ABCD―中，设棱CC上存在点，可以使二面角的大小为45°，同（Ⅱ），有．

设正方体ABCD―的棱长为，，由平面几何知识，得

．

∴在△中，由，得

 （），解得．

这里，．

∴棱CC上不存在满足条件的点．

解法2：以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,

（1），设,则，

,,

∴,即

（2）由题设，，设的中点为，，，，，，

∴为二面角的平面角．,则

∴．

（3）假设点存在,设．．

∴

解得,由,与矛盾,

∴棱CC上不存在满足条件的点．