Question

【题目】设函数，，.

（1）当，，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值；

（3）当时，若函数恰有两个零点，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

(1)利用导数的几何意义求出斜率,再由点斜式可求得线在点处的切线方程;

(2)利用,可得,令,可解得,

,可得,再令,通过两次求导可得,可得,从而可证.

（1）依题意得：，则，

，，

所以曲线在点处的切线方程：，即

（2）

当时，，在上单调递增，

此时，∴

当时，令，且当时，，递减；

当时，，递增

∴，∴（舍去）

综上：.

（3）当时，

∴，②①，得

∴，

令,则,

所以 ,因为,所以,

所以,

所以,

令,

则,

所以, 因为,所以,

所以为上的增函数,

所以,

所以为上的增函数,

所以,即,

所以,

因为,所以,

所以,即,

所以.