Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且S_n=2n+7-2a_n．
（1）求证：{a_n-2}为等比数列；
（2）是否存在实数k，使得a_n≤n³+kn²+9n对于任意的n∈N^*都成立，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）n=1时，a₁=S₁=2+7-2a₁，解得a₁=3．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2-2a_n+2a_n-1，
即3a_n=2a_n-1+2，
∴，
∴{a_n-2}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）由（1）知，
∴，
由2+（）^n-1≤n³+kn²+9n，
得．
∴只需求出的最大值即可．
设，，，
∵n∈N^*，∴f（n）单调递减．
∵
=，
∴g（n）＜g（n+1），
故g（n）单调递减．
=，
当n≥3时，h（n）＞h（n+1），
故n≥3时，h（n）单调递减．
∴n≥3时，随着n的增大而减小，
∵p（1）=-7，，，
∴p（n）的最大值为p（3）=-．
故k≥．
分析：（1）由n=1，解得a₁=3．由n≥2，得3a_n=2a_n-1+2，故，由此能够证明{a_n-2}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）由，知，由2+（）^n-1≤n³+kn²+9n，得．故只需求出的最大值即可得到k范围．
点评：本题考查等比数列的证明和数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是判断最大值时因解题能力差导致失误．解题时要认真审题，仔细解答，注意提高解题能力．