Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC． （Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．

Answer 1

【答案】解法一 （Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD

因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，
因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．
PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角
不妨设PA=2，则OD=1，OP= ，AB=4．
所以CD=2 ，OC= = =
在RT△OCP中，tan∠OCP= = = ．
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan ．
（Ⅱ）过D作DE⊥AP于E，连接CE．

由已知，可得CD⊥平面PAB．根据三垂线定理知，CE⊥PA．所以∠CED为二面角
B﹣AP﹣C的平面角．由（Ⅰ）知，DE= ，在RT△CDE中，tan∠CED= = =2，故二面角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．
解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．
如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．

不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP= ，
CD=2 ，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2 ，0），P（0，0， ），所以 =（﹣1，﹣2 ， ） =（0，0， ）为平面ABC的一个法向量．
设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα= = = ．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =（1，0， ）， =（2，2 ，0）．
设平面APC的一个法向量为 =（x，y，z），则由 得出 即 ，
取x=﹣ ，则y=1，z=1，所以 =（﹣ ，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．
而面ABP的一个法向量为 =（0，1，0），则cosβ= = = ．
故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos ．
【解析】解法一（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．可以证出∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．不妨设PA=2，则OD=1，OP= ，AB=4．在RT△OCP中求解．（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解． 解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用 与平面ABC的一个法向量夹角求解．（Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则，以及对用空间向量求直线与平面的夹角的理解，了解设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角的余角.即有：．