Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0 ， 2），（x0+ ，﹣2）．
（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；
（2）若当0≤x≤ 时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得：A=2，

由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+ ，﹣2），可得：

=（x0+ ）﹣x0= ，可得：T=π，

∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），

又∵图象与y轴的交点为（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ= ，

∵|φ|＜ ，可得：φ= ，

∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+ ）

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，可得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

可解得f（x）的单调递增区间是：[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+ ）和y=m（m∈R）的图象，

由图可知，当﹣2＜m≤0或1≤m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，

当﹣2＜m≤0时，两根和为 ；

当1≤m＜2时，两根和为

【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图象与y轴的交点为（0，1）求出φ的值，可得函数的解析式，利用正弦函数的单调性可求单调递增区间；（2）在同一坐标系中画出y=2sin（2x+ ）和直线y=m（m∈R）的图象，结合正弦函数的图象的特征，数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和．