Question

【题目】已知椭圆的短轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若动直线与椭圆有且仅有一个公共点，分别过两点作，垂足分别为，且记为点到直线的距离, 为点到直线的距离，为点到点的距离，试探索是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在最大值，其最大值为.

【解析】

（1）由题意得，，得a＝2，c＝1，即可求出椭圆方程．

（2）将直线l：y＝kx+m代入曲线C的方程3x2+4y2＝12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能求出（d1+d2）d3存在最大值，并能求出最大值．

（1）由题意可得，解得椭圆的方程为.

（2）将直线代入椭圆的方程中，得.

由直线与椭圆有且仅有一个公共点知，.

整理得，且，.

当时，设直线的倾斜角为，则，即.

，当时，，

，

当时，四边形为矩形，此时.

综上可知，存在最大值，其最大值为.