Question

【题目】已知的三个顶点都在椭圆C：上，且过椭圆的左焦点F，O为坐标原点，M在上，且.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）法一（代数法）设：，，联立方程组，消去m得，即可推出结果.

法二（几何法）由已知可得，，说明M的轨迹为以为直径的圆（经检验，原点也符合题意）.求解即可.

（2）由（1）知，M的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，设，则，求出的表达式，利用二次函数的性质求解最大值与最小值即可.

（1）法一（代数法）

由已知可得，故当直线斜率不为0时，可设：，

由消去m得（）

经检验，当直线斜率为0，即m存在时，也符合上式，

故点M的轨迹方程为：.

法二（几何法）

由已知可得，，

所以M的轨迹为以为直径的圆（经检验，原点也符合题意），

∴M的轨迹方程为：.

（2）由（1）知，M的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，设

则（），

可得，

当时，

当时，，

所以的取值范围是.