Question

从圆x²+y²-4x-6y+12=0外一点P向圆引切线PT，T为切点，且PT=PO，O为坐标原点
（1）求点P的轨迹方程     
（2）求PT的最小值．

Answer 1

分析：（1）化圆的一般式为标准式，求出圆心坐标和半径，设出P点坐标，由切线长等于P到O点的距离列式求得P的轨迹；
（2）由（1）得P得轨迹为直线，把|PT|的值转化为|PO|的值，由点到直线的距离公式求解原点到直线的距离，可得|PT|的最小值．

解答：解：（1）由圆x²+y²-4x-6y+12=0，得（x-2）²+（y-3）²=1．∴圆心Q的坐标为（2，3），半径等于1．
设P（x，y），则|PT|²=（x-2）²+（y-3）²-1²=x²+y²-4x-6y+12，
|PO|²=x²+y²．
由|PM|=|PO|，得x²+y²-4x-6y+12=x²+y²，
整理得：2x+3y-6=0．
∴点P的轨迹方程为：2x+3y-6=0；
（2）求|PT|的最小值，就是求|PO|的最小值．
在直线2x+3y-6=0上取一点到原点距离最小，
由“垂线段最短”得，直线OP垂直直线2x+3y-6=0，
由点到直线的距离公式得：
PT的最小值为：

|-6|

22+32

=

6 13

13

．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．