Question

【题目】如图，点是抛物线上位于第一象限内一动点，是焦点，圆：，过点作圆的切线交准线于，两点.

（Ⅰ）记直线，的斜率分别为，，若，求点的坐标；

（Ⅱ）若点的横坐标，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）10.

【解析】

（Ⅰ）设，，，求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，运用直线的斜率公式，化简计算可得所求值；

（Ⅱ）设直线的斜率为，直线的斜率为，可得直线、的方程，运用点到直线的距离公式和直线和圆相切的条件：，结合韦达定理，可得、的横坐标，进而得到，求得面积为关于的关系式，化简整理，可得所求最小值．

解：（Ⅰ）设，，

，

解得或（舍）.此时

（Ⅱ）设直线的斜率为，直线的斜率为.

则直线的方程为：，

由直线与圆相切，，

同理.

则，为方程的两根.

，

由，同理

，

，则

当且仅当即时，的面积取到最小值10.