Question

【题目】已知函数，，．

（1）设．①若，则，满足什么条件时，曲线与在x＝0处总有相同的切线？②当a＝1时，求函数单调区间；

（2）若集合为空集，求ab的最大值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）ab的最大值为.

【解析】

（1）①中分别利用导数求出和，在处的切线方程，根据两切线重合，即可求出满足的条件；②中先求出函数的解析式，然后求出导数，令，讨论根的大小，从而求出函数的单调区间；

（2）由集合为空集，即为无解，令，利用导数，得到函数的单调性和最值，即可求解.

（1）①由题意求得：，

要使曲线与在x＝0处总有相同的切线

则，求得

②，则

当时，当，时，，

当，，时，，

当时，时，

当时，当，时，，

当，，时，，

综上所述，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，，，；当b＝0时，无单调增区间，单调减区间为R；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．

（2）因为集合为空集，即无解

令，求得

当时，在R上单调递增，显然有解不符题意

当时，在，lna]单调递减，在[lna，单调递增

所以时，符合题意

则，则

令，求得

当，时，，当，时，

∴当

∴ab的最大值为.