Question

【题目】已知椭圆：的离心率，短轴的一个端点到焦点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点在直线上，求直线与轴交点纵坐标的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根据离心率及短轴的一个端点到焦点的距离为，可得 的值，进而得椭圆方程。

（2）设出点、及直线方程，并将直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理表达式，根据判别式可得，根据线段的中点在直线上可得，进而用k表示出m，结合基本不等式可求得m的最小值。

（1）由已知得椭圆的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为，

解得，

所以椭圆的方程为

（2）设直线的方程为，则直线与轴交点的纵坐标为

设点，，

将直线的方程与椭圆方程联立

化简得，

由韦达定理得，，

，化简得.

由线段的中点在直线上，得，

故，即，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时，满足，

因此，直线与轴交点纵坐标的最小值为.