Question

如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段

.

AC

所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

2

3

≤λ≤

3

4

时，求双曲线离心率c的取值范围．

Answer 1

分析：首先以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，记A(-c，0)，C(

c

2

，h)，E(x0，y0)，其中c=

1

2

|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高，用定比分点坐标公式可求得x₀和y₀的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．

解答：解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，
依题意，记A(-c，0)，C(

c

2

，h)，E(x0，y0)，
其中c=

1

2

|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高，
由定比分点坐标公式得x0=

-c+ c 2 λ

1+λ

=

(λ-2)c

2(λ+1)

，
γ0=

λh

1+λ

．
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，则离心率e=

c

a

，
由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和e=

c

a

代入双曲线的方程，得

e2

4

-

h2

b2

=1，①

e2

4

(

λ-2

λ+1

)2-(

λ

λ+1

)2

h2

b2

=1．②
由①式得

h2

b2

=

e2

4

-1，③
将③式代入②式，整理得

e2

4

(4-4λ)=1+2λ，
故λ=1-

3

e2+2

由题设

2

3

≤λ≤

3

4

得，

2

3

≤1-

3

e2+2

≤

3

4

，
解得

7

≤e≤

10

，
所以，双曲线的离心率的取值范围为[

7

，

10

]．

点评：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．